导数

学习目标

1. 理解导数的概念和几何意义
2. 掌握基本初等函数的导数公式
3. 掌握导数的运算法则
4. 能用导数研究函数的单调性、极值和最值

导数的概念

函数 y = f(x) 在 x = x₀ 处的导数：

f'(x₀) = lim[Δx→0] [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

几何意义：曲线在点 (x₀, f(x₀)) 处的切线斜率。

基本导数公式

函数	导数
C（常数）	0
xⁿ	nxⁿ⁻¹
sin x	cos x
cos x	-sin x
eˣ	eˣ
ln x	1/x

导数运算法则

法则	公式
加减	(f ± g)' = f' ± g'
乘法	(fg)' = f'g + fg'
除法	(f/g)' = (f'g - fg')/g²
复合	[f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)

导数与单调性

条件	结论
f'(x) > 0	f(x) 单调递增
f'(x) < 0	f(x) 单调递减

极值与最值

极值：f'(x) 变号处，f'(x) 从正变负 → 极大值，从负变正 → 极小值。

求最值步骤：

1. 求 f'(x)，解 f'(x) = 0
2. 计算端点值和极值点的函数值
3. 比较大小