平面向量

学习目标

1. 理解向量的概念
2. 掌握向量的线性运算
3. 掌握向量的数量积
4. 掌握向量的坐标表示

向量的概念

既有大小又有方向的量叫做向量。

• 零向量：长度为 0 的向量，方向任意
• 单位向量：长度为 1 的向量
• 相等向量：大小相等、方向相同
• 相反向量：大小相等、方向相反

向量的线性运算

加法

• 三角形法则：首尾相接
• 平行四边形法则：共起点

减法

a - b = a + (-b)

数乘

λa：长度为 |λ|·|a|，方向由 λ 的正负决定

向量的数量积

a · b = |a|·|b|·cos θ

• a ⊥ b ⇔ a · b = 0
• a · a = |a|²

向量的坐标表示

若 a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂)：

• a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
• λa = (λx₁, λy₁)
• a · b = x₁x₂ + y₁y₂
• |a| = √(x₁² + y₁²)

向量在几何中的应用

两点间距离：|AB| = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

向量平行：a ∥ b ⇔ x₁y₂ - x₂y₁ = 0

向量垂直：a ⊥ b ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0